翻译团队成员介绍:Alex

Alex，英语爱好者，现在洛阳工作。

文章:更好解释。com/articles/直观理解正弦波/

译者:Alex校对:飞向大海

正弦与微积分 Geeking Out With Calculus

用微积分描述正弦曲线/正弦波。像e一样，正弦波可以分解成更细微的波动:

正弦波从0开始以单位速度增长此过程中，一个相反的加速度企图将它拉回原点

如何理解这个过程？这些力是如何改变正弦波离原点的距离的？

初始推力使得距离线性增长：y (离原点距离) = x (时间)随时受到一个大小为 -x 的反方向作用力。通过双重积分，将负的加速度转换为距离：

加速度对距离的影响就像上面例子中加薪对银行账户的影响一样。“涨工资”必然改变收入，进而改变银行账户(两种改变是累积的)。

所以不难猜测x秒后的正弦值是x(初始值)减去x/3！(负加速度的影响):

不过，好像有点不对劲——正弦是一个平滑的过程，不会突然下降！e是通过“增长产生增长”的模式逐渐增加的，正弦本质上也是一样的。“反作用”使正弦离原点的距离减少x/3！而这种‘还原’又产生了另一种‘反作用’。观察弹簧，不难发现拉伸的弹簧向平衡点移动，但向下反弹时会越过平衡点，然后会产生一个向上的拉力(同理，弹簧向上反弹时也会越过平衡点)。疯狂的春天！

每个“反作用力”都需要考虑:

y = x是初始状态，产生一个“反作用力”y = -x³/3!，产生一个“反作用力”y= x^5/5!，产生一个“反作用力”y = -x^7/7! ，产生一个“反作用力”......

正弦波的优化模型

和E一样，正弦可以描述为一个无穷级数:

当我把正弦看成初始推力和反作用力的组合时，这个公式就很好理解了。初始推力(y=x，正方向)最终会被反作用力超越，这个反作用力最终会被自身的反作用力超越，如此循环往复，永无止境。

余弦与微积分 - The Calculus Of Cosine

余弦是位移后的正弦。既然你已经理解了正弦，余弦当然不在话下！

正弦：开始于0，初始推力为 y = x (100%)余弦：开始于1，无初始推力

所以，开始时，余弦停留在1，等待反作用力推动:

同样，我们通过对-1的二重积分得到第一个反作用力-x/2！。这个反应产生第二个反应，第二个反应产生第三个反应...结果是下面的公式:

定义3：微分方程 - Definition 3: The Differential Equation

上面的公式用一个特定的等式描述了正弦。事实上，更简洁的方法是使用微积分方程:

WolframAlpha查询结果

这个公式具有极大的数学美:

初始位置为 y加速度（二阶导数y''）与当前位置相反（-y）

这个公式可以用正弦和余弦来验证。然而，一开始我拒绝了这个定义。它离正弦的形象有千里之遥。但我没有意识到，它揭示了正弦的本质(“与当前位置相反的加速度”)。

Sine和e是相互关联的，e x可以用下面的公式表示:

类似正弦公式，只是符号变为正，即“加速度等于当前位置”。但是，如果正弦仍然表示为“圆内高度”，我们就很难将其与e联系起来。

很抱歉没有学好微分方程。但是现在我想学，因为微分方程让正弦更简洁，我觉得对正弦和e有直觉对学数学特别重要。

总结 - Summing It Up

本文的目标是展示越来越多的正弦内容(基本的图形和概念)，而不是数学中微不足道的角色(圆的一部分)。

正弦是在极大值（1）和极小值（-1）之间的平稳摆动。从数学角度看，就是加速度与当前位置相反。这个“负增长”使得正弦永不停歇的摆动下去。正弦并非圆的一部分，只是碰巧出现在了圆和三角形里（弹簧，钟摆，琴弦震荡，声波等都是正弦波）pi是sin(x)从中间位置出发然后又回到中间位置所需的时间。同样地，pi并不属于圆，也碰巧出现在圆里罢了。

把正弦放进“大脑工具箱”(这样就可以用来产生平滑的运动)。最后，我们会直观地理解这些基本概念(e、pi、弧度、虚数、正弦等。)并用它们做一顿美味的数学“大餐”！好好享受吧！(完)

“赠人玫瑰，手有余香”感谢大家对遇见数学的支持！

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