设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵。

证明西尔维斯特不等式:

R(AB)≥R(A) R(B)-n

在遇到这种比较多个矩阵秩的问题时，最常用的方法就是利用分块矩阵的初等变换。

因为R(AB)≥R(A) R(B)-n，所以

R(AB) n≥R(A) R(B)

R(AB) n是由矩阵AB和单位矩阵e组成的分块矩阵h的秩。

矩阵h

R(A) R(B)是矩阵A和矩阵B组成的分块矩阵t的秩。

矩阵t

根据题意，我们可以知道矩阵H的秩大于等于矩阵H的秩..

我们对矩阵h进行初等变换。

矩阵H的第二行乘以矩阵A，加到第一行。

将矩阵的第二列乘以矩阵(-B)并将其加到第二列。

将矩阵的第一列乘以(-1)。

因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，

因此，矩阵H的秩等于矩阵H’的秩。

因此，R(H)=R(H ')

= R(A) R(E)

=R(A) n

=R(AB) n

因为矩阵T的秩是R(A) R(B)

所以，r (t) ≤ r (a) n。

此外，R(T)≤R(H)

所以，r (a) r (b) ≤ r (ab) n。

即r (ab) ≥ r (a) r (b)-n。

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